اثبات به کمک عکس نقیض
گاهی اثبات مستقیم یک گزارهٔ شرطی مثل «اگر p آنگاه q» دشوار است. در این صورت، میتوانیم بهجای آن، عکس نقیض آن را اثبات کنیم:
چون این دو گزاره همارز منطقی هستند، اثبات یکی، اثبات دیگری است.
🔹 ۱. چرا این روش معتبر است؟
جدول ارزش زیر نشان میدهد که p → q و ¬q → ¬p همیشه همارزند:
| p | q | p → q | ¬q | ¬p | ¬q → ¬p |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
🔹 ۲. مثال ۱: عدد زوج
«اگر n زوج نباشد (یعنی فرد باشد)، آنگاه n2 زوج نیست (یعنی فرد است).»
فرض کنید n = 2k + 1 (عدد فرد).
آنگاه n2 = (2k+1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 → فرد است.
🔹 ۳. مثال ۲: بخشپذیری
🔹 ۴. چه زمانی از این روش استفاده کنیم؟
✅ وقتی بخواهیم از عدم وجود یا نادرستی چیزی استدلال کنیم.
✅ در مسائل مربوط به اعداد اول، زوج/فرد، بخشپذیری.
⚠️ ۵. تفاوت با برهان خلف
• برهان خلف: فرض میکنیم گزاره نادرست است و به تناقض میرسیم.
→ این دو روش متفاوت هستند، هرچند گاهی نتیجه مشابه دارند.
اثبات با عکس نقیض (Contrapositive)
آموزش عکس نقیض
عکس نقیض یک گزاره شرطی، گزارهای است که از نقیض کردن مقدم و تالی و جابجا کردن آنها به دست میآید.
عکس نقیض: ¬q → ¬p
مهم: یک گزاره و عکس نقیض آن همارز هستند (ارزش یکسانی دارند).
گزاره: اگر a عددی زوج باشد، آنگاه a² زوج است.
عکس نقیض: اگر a² زوج نباشد، آنگاه a زوج نیست.
مثالهای اثبات با عکس نقیض
قضیه: اگر n² زوج باشد، آنگاه n زوج است.
اثبات با عکس نقیض:
✅ پس عکس نقیض درست است، بنابراین قضیه اصلی نیز درست است.
قضیه: اگر یک چهارضلعی مربع باشد، قطرهایش برابرند.
اثبات با عکس نقیض:
✅ اثبات عکس نقیض سادهتر از اثبات مستقیم است.
قضیه: اگر a × b زوج باشد، آنگاه حداقل یکی از a یا b زوج است.
اثبات با عکس نقیض:
✅ قضیه اثبات شد.