ترکیب شرطی گزارهها (p → q)
ترکیب شرطی، یکی از مهمترین روابط منطقی است که با عبارت «اگر p، آنگاه q» بیان میشود. نماد ریاضی آن p → q است.
🔹 ۱. تعریف و مثالهای روزمره
↤ p: «باران میبارد»، q: «خیابان خیس میشود»
↤ ترکیب شرطی: p → q
↤ این جمله همیشه درست است، حتی اگر عددی زوج نباشد!
🔹 ۲. جدول ارزش ترکیب شرطی
ترکیب شرطی فقط در یک حالت نادرست است: وقتی p درست باشد ولی q نادرست باشد.
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
چون سخنی نقض نشده! مثلاً: «اگر من پرواز کنم، آنگاه به ماه میرسم.»
چون من پرواز نمیکنم (p = F)، پس قولی نقض نشده ↤ جمله درست است!
🔹 ۳. همارزی مهم
ترکیب شرطی را میتوان با فصل بیان کرد:
یعنی: «اگر p آنگاه q» همان «p نیست یا q هست» است.
🔹 ۴. گزارههای مرتبط
عکس (Converse): q → p
نقیض (Inverse): ¬p → ¬q
عکس نقیض (Contrapositive): ¬q → ¬p
• گزارهٔ اصلی و عکس نقیض همیشه همارز هستند.
• عکس و نقیض نیز با هم همارزند، اما با گزارهٔ اصلی همارز نیستند.
🔹 ۵. کاربرد در ریاضیات
بیشتر قضایای ریاضی بهصورت شرطی بیان میشوند:
«اگر یک چهارضلعی مربع باشد، آنگاه قطرهای آن با هم برابرند.»
🔹 . مقدم و تالی
• p را «مقدم» (فرض یا شرط) میگویند.
• q را «تالی» (نتیجه یا حکم) میگویند.
→ مقدم: «عددی بر ۴ بخشپذیر باشد»
→ تالی: «بر ۲ هم بخشپذیر است»
🔹 . شیوههای مختلف خواندن p → q
ترکیب شرطی را میتوان به روشهای مختلفی در زبان فارسی خواند. همهٔ این شیوهها از نظر منطقی معادل هستند:
- اگر p، آنگاه q.
- p شرط کافی برای q است.
- q شرط لازم برای p است.
- p نتیجه می دهد q را.
- q از p نتیجه می شود.
- q اگر p.
عبارتهای «p فقط اگر q» و «p اگر q» بهصورت شهودی گمراهکننده هستند!
• «p اگر q» یعنی q → p (عکس گزارهٔ اصلی!)
• «p فقط اگر q» یعنی p → q (همان گزارهٔ اصلی)
تمرین: درستی جملهٔ شرطی
مقایسه: گزارهٔ اصلی و عکس نقیض
| p | q | ¬p | ¬q | p → q | ¬q → ¬p | همارز؟ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | بله |
| T | F | F | T | F | F | بله |
| F | T | T | F | T | T | بله |
| F | F | T | T | T | T | بله |
جمع بندی ترکیب شرطی گزارهها (اگر-آنگاه)
منطق ریاضی – پایه یازدهم انسانی
ترکیب شرطی (اگر-آنگاه) چیست؟
ترکیب شرطی که با «اگر-آنگاه» نشان داده میشود، ارتباطی بین دو گزاره است که نشان میدهد درستی گزاره اول (مقدم) موجب درستی گزاره دوم (تالی) میشود.
نماد: p → q (خوانده میشود: “اگر p، آنگاه q”)
مثال فارسی: “اگر باران ببارد، آنگاه زمین خیس میشود”
اجزاء: p = مقدم (شرط)، q = تالی (نتیجه)
🗝️ نکته کلیدی برای حفظ جدول ارزش شرطی:
“شرطی فقط وقتی نادرست است که مقدم درست باشد و تالی نادرست باشد. در بقیه حالتها درست است.”
به عبارت ساده: “وعدهی دروغ = قول دادن (درست) + عمل نکردن (نادرست)”
جدول ارزش ترکیب شرطی:
| p → q (اگر p، آنگاه q) | q (تالی) | p (مقدم) |
|---|---|---|
| درست (T) | درست (T) | درست (T) |
| نادرست (F) – تنها حالت نادرست! | نادرست (F) | درست (T) |
| درست (T) | درست (T) | نادرست (F) |
| درست (T) | نادرست (F) | نادرست (F) |
⚠️ نکته مهم: در منطق ریاضی، وقتی مقدم نادرست باشد، ترکیب شرطی همیشه درست است (چه تالی درست باشد چه نادرست). این مفهوم منطقی ممکن است با شهود ما متفاوت باشد!
مقایسه ترکیب شرطی با دیگر ترکیبات:
| ترکیب | نماد | خواندن | شرط درستی |
|---|---|---|---|
| شرطی | p → q | اگر p، آنگاه q | نادرست فقط وقتی: p درست و q نادرست |
| عطفی | p ∧ q | p و q | درست فقط وقتی: هر دو درست باشند |
| فصلی | p ∨ q | p یا q | درست وقتی: حداقل یکی درست باشد |
انواع مختلف ترکیب شرطی:
مثال ۱: شرطی ساده
“اگر باران ببارد، آنگاه زمین خیس میشود”
↤ p = باران ببارد، q = زمین خیس شود
مثال ۲: شرطی با مقدم نادرست (همیشه درست)
“اگر ۲+۲=۵ باشد، آنگاه من پادشاه ایران هستم”
↤ چون مقدم نادرست است، کل شرطی درست است (حتی اگر تالی نادرست باشد)
مثال ۳: شرطی با تالی همیشه درست
“اگر خورشید طلوع کند، آنگاه ۲+۲=۴ است”
↤ چون تالی همیشه درست است، کل شرطی همیشه درست است
مثال ۴: شرطی در ریاضیات
“اگر x یک عدد زوج باشد، آنگاه x² یک عدد زوج است”
↤ این یک قضیه ریاضی است
مفاهیم مرتبط با ترکیب شرطی:
| عنوان | نماد | معنی | مثال |
|---|---|---|---|
| عکس شرطی | q → p | جابهجایی مقدم و تالی | اگر زمین خیس باشد، آنگاه باران باریده |
| نقیض شرطی | ¬(p → q) | نقیض کل شرطی | نه اینکه اگر باران ببارد، زمین خیس شود |
| معکوس شرطی | ¬p → ¬q | نقیض مقدم و تالی | اگر باران نبارد، زمین خیس نمیشود |
| عکس نقیض | ¬q → ¬p | نقیض تالی و مقدم | اگر زمین خیس نباشد، باران نباریده |
📚 قانون عکس نقیض:
شرطی p → q با عکس نقیض آن¬q → ¬p همارز است.
“اگر باران ببارد، زمین خیس میشود” ≡ “اگر زمین خیس نباشد، باران نباریده”
نکات مهم:
- ترکیب شرطی فقط در یک حالت نادرست است: وقتی مقدم درست باشد اما تالی نادرست باشد
- اگر مقدم نادرست باشد، ترکیب شرطی همیشه درست است (چه تالی درست باشد چه نادرست)
- ترکیب شرطی تعیین کننده علیت نیست، فقط رابطه منطقی نشان میدهد
- در منطق ریاضی، ترکیب شرطی به صورت مادی تعریف میشود نه علّی
- نقیض شرطی p → q برابر است با p ∧ ¬q (مقدم درست و تالی نادرست)
- عکس شرطی (q → p) معادل شرطی اصلی (p → q) نیست
💡 مثال کاربردی برای درک بهتر:
فرض کنید معلم میگوید: “اگر امتحان را ۲۰ بگیرید، نمره کامل میگیرید”
این شرطی فقط در یک حالت نادرست است: وقتی شما ۲۰ بگیرید اما نمره کامل نگیرید!
اگر ۱۹ بگیرید (مقدم نادرست)، شرطی درست است (حتی اگر نمره کامل نگیرید).
اگر ۲۰ بگیرید و نمره کامل بگیرید، شرطی درست است.