منطق ریاضی — مقدمه و مفهوم گزاره
منطق در لغت به معنای «آنچه به گفته درآمده» و عموماً آن را به معنای بررسی استدلالها تعبیر میکنند. کاربرد منطق در تشخیص اعتبار استدلالهاست. تعبیر دیگری از منطق، روش درست فکر کردن است. منطق ریاضی شاخهای از ریاضیات است و به بیان ریاضیگونهٔ منطق میپردازد. اگر ریاضیات را به عنوان یک زبان برای انتقال مفاهیم و اطلاعات در نظر بگیریم، منطق ریاضی، دستور این زبان است.
📌 تعریف گزاره
در منطق ریاضی به هر جملهٔ خبری که بتوانیم (در حال حاضر یا در آینده) دقیقاً یکی از دو ارزش درست یا نادرست (راست یا دروغ) را به آن نسبت بدهیم، یک گزاره گفته میشود.
جملههای غیر خبری مانند «چه هوای خوبی!» یا «شما اهل کجایید؟» و همچنین جملههای خبری که نتوانیم ارزش آنها را تعیین کنیم، گزاره نیستند؛ مثلاً: «درس فلسفه از درس عربی آسانتر است.»
✅ ۷ مثال از گزارهها
- عدد 7 یک عدد اول است.
- تهران پایتخت ایران است.
- 2 + 3 = 5
- ماه به دور زمین میچرخد.
- عدد 10 زوج است.
- ثلج سفید است.
- زمین کروی شکل است.
❌ ۷ مثال از غیر گزارهها
- چه روز زیبایی!
- آیا 4 یک عدد زوج است؟
- لطفاً پنجره را ببندید.
- من بهترین دانشآموز کلاس هستم.
- ریاضی سختترین درس است.
- فردا هوا چه وضعیتی خواهد داشت؟
- بیا اینجا!
🧠 تمرین: ارزش گزارهها را تعیین کنید
در هر مورد مشخص کنید آیا جمله یک گزاره است یا خیر. اگر گزاره است، ارزش آن (درست/نادرست) را هم تعیین کنید.
- عدد 9 یک عدد اول است.
- آیا 4 یک عدد زوج است؟
- 3 × 4 = 12
- چه کتاب جالبی!
- کربن عنصری با نماد C است.
- من فردا قهرمان مسابقه خواهم شد.
- 0 یک عدد صحیح است.
- لطفاً ساکت شوید.
- عدد π گویا است.
- آیا تهران در ایران قرار دارد؟
- 100 بزرگتر از 99 است.
- بیا با هم بازی کنیم!
- نور سریعتر از صدا حرکت میکند.
- هوا سرد است.
- 25 = 32
- کدام عدد اول است؟
- ماه یک سیاره است.
- 7 + 8 = 15
- فردا عید است.
- عدد 1 نه اول است و نه مرکب.
🔗 ترکیبهای گزارهای
دو گزاره را با «و» به هم وصل میکنیم. ترکیب عطفی فقط وقتی درست است که هر دو گزاره درست باشند.
دو گزاره را با «یا» به هم وصل میکنیم. ترکیب فصلی فقط وقتی نادرست است که هر دو گزاره نادرست باشند.
آموزش شناسایی گزاره – منطق ریاضی
پایه یازدهم رشته انسانی | تمرین تعاملی
تعریف گزاره
هر جملهٔ خبری که بتوانیم (در حال حاضر یا در آینده) دقیقاً یکی از دو ارزش درست یا نادرست (راست یا دروغ) را به آن نسبت بدهیم، یک گزاره گفته میشود.
توجه: اگر عبارت دارای متغیر باشد (مانند x، y، a) و مقدار متغیر مشخص نباشد، نمیتوان ارزش درستی را تعیین کرد. در این صورت، اگر جمله خبری باشد، گزاره است اما ارزش آن معلوم نیست.
🎉 تبریک! شما به شناخت کافی در این مورد رسیدهاید!
شما ۷ پاسخ صحیح پیاپی ارائه دادید. این نشان میدهد که مفهوم گزاره را به خوبی فرا گرفتهاید.
میتوانید ادامه دهید تا مهارت خود را بیشتر تقویت کنید.
نمادهای ریاضی مورد استفاده:
جدول ارزش گزاره ها
📊 جدول ارزش گزارهها
در منطق ریاضی و در حساب گزاره ها، به صورت های متفاوتی می توان گزاره های ساده را با هم ترکیب و گزاره های مرکب تولید کرد. در این فصل ، ترکیب گزاره ها توسط 4رابط «و» ، «یا» ،«شرطی» و «دو شرطی» انجام می شود. هر گزاره مرکب که از ترکیب دو یا بیشتر از دو گزارهٔ ساده تولید میشود، خودش یک گزاره است و باید بتوانیم ارزش آن را تعیین کنیم. وقتی چند گزاره را با هم ترکیب میکنیم، برای بررسی تمام حالات ممکن، از جدول ارزش استفاده میشود.
گزارههایی مانند x + 2 = 5 یا «فردا برف میبارد»، گزارههای معتبر هستند، چون در نهایت (الآن یا در آینده) یکی از دو ارزش درست (T) یا نادرست (F) را میپذیرند — حتی اگر الان نتوانیم آن را تعیین کنیم.
ترکیب دو گزاره (p و q)
فرض کنید: p: x + 2 = 5 «فردا برف میبارد» :q هر دو ارزش نامعلوم دارند، اما میتوانیم تمام حالات را بررسی کنیم:
| p | q |
|---|---|
| T | T |
| T | F |
| F | T |
| F | F |
اگر دو گزارهٔ مستقل داشته باشیم، تعداد سطرهای جدول ارزشی آن برابر است با:
ترکیب سه گزاره (p، q، r)
اگر سه گزارهٔ مستقل داشته باشیم، تعداد حالات ممکن برابر است با:
جدول ارزش برای ترکیب سه گزاره :
| p | q | r |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | T | F |
| T | F | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | T | F |
| F | F | T |
| F | F | F |
اگر n گزارهٔ مستقل داشته باشیم، تعداد حالات ممکن برابر است با:
جدول ارزش ابزاری است برای تحلیل منطقی ترکیب گزارهها، حتی زمانی که ارزش واقعی آنها نامعلوم است.