یادآوری تابع خطی

تابع خطی

تابع خطی، تابعی است که نمودار آن یک خط راست است و به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

f(x) = ax + b

در این رابطه:

a = شیب خط (نرخ تغییر y نسبت به x)
b = عرض از مبدأ (مقدار y وقتی x = 0)

🔹 مثال: f(x) = 2x – 1

در این تابع، شیب a = 2 و عرض از مبدأ b = –1 است.

دامنه: ℝ | برد: ℝ✅
هر تابع خطی (غیرثابت) دامنه و بردش تمام اعداد حقیقی است.✅

🔹 نمودار تابع خطی

در نمودار زیر، تابع f(x) = 2x – 1 رسم شده است.

🔍 نکته: خط از نقطه (۰, –۱) عبور می‌کند و در هر ۱ واحد افزایش x، y به‌اندازهٔ ۲ واحد افزایش می‌یابد.

🔹 حالت‌های خاص

اگر a = 0 → تابع ثابت است: f(x) = b (خط افقی)
اگر b = 0 → تابع از مبدأ می‌گذرد: f(x) = ax
اگر a > 0 → تابع صعودی است
اگر a < 0 → تابع نزولی است

🎯 خلاصه

• تابع خطی: f(x) = ax + b
• نمودار: خط راست
• دامنه و برد: ℝ (مگر اینکه محدود شده باشد)
• a = شیب، b = عرض از مبدأ
• تغییر a: تغییر زاویهٔ خط — تغییر b: جابجایی عمودی خط

یافتن معادلهٔ خط با دو نقطه

اگر دو نقطه از یک خط را داشته باشیم، می‌توانیم معادلهٔ آن خط را پیدا کنیم. این کار در دو مرحله انجام می‌شود:

🔹 گام ۱: محاسبهٔ شیب خط (a)

اگر دو نقطهٔ A(x₁, y₁) و B(x₂, y₂) روی خط باشند، شیب خط از فرمول زیر به‌دست می‌آید:

a = y₂ – y₁ x₂ – x₁

⚠️ نکته: اگر x₂ = x₁ باشد، خط عمودی است و معادله‌اش به‌صورت x = عدد ثابت خواهد بود (تابع نیست!).

🔹 گام ۲: نوشتن معادلهٔ خط

پس از یافتن شیب (a)، معادله را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

y = a x + b

سپس یکی از نقاط (مثلاً A) را در معادله جایگذاری کرده و b (عرض از مبدأ) را پیدا می‌کنیم.

🔹 مثال کامل

دو نقطه: A(1, 3) و B(4, 9)

مرحله ۱: شیب

a = 9 – 3 4 – 1 = 6 3 = 2

مرحله ۲: پیدا کردن b
از نقطهٔ A(1, 3) استفاده می‌کنیم:

3 = 2 × 1 + b
→ 3 = 2 + b
→ b = 1

معادلهٔ نهایی:

y = 2x + 1

🎯 نکات مهم

• همیشه از یک نقطه برای محاسبهٔ b استفاده کنید.
• می‌توانید از هر نقطه‌ای استفاده کنید — جواب یکی می‌شود!
• اگر y₁ = y₂ باشد، خط افقی است و معادله‌اش: y = عدد ثابت.

تمرین معادله خط – تست دانش آموزی

صورت مسئله

معادله خطی که از دو نقطه زیر می‌گذرد را به دست آورید:

نقطه اول

(2, 5)

نقطه دوم

(6, 13)

پاسخ دانش آموز

مقادیر a (شیب) و b (عرض از مبدأ) را وارد کنید. اعداد را می‌توانید به صورت کسری یا عدد صحیح وارد نمایید.

مقدار b (عرض از مبدأ):

برای عدد صحیح، مخرج را ۱ بگذارید

مقدار a (شیب):