برخورد سهمی با محورهای مختصات
برای یافتن نقاط برخورد یک سهمی با محورهای مختصات، از دو روش زیر استفاده میکنیم:
🔹 ۱. برخورد با محور y (y-intercept)
در این حالت، x = 0 قرار داده میشود.
f(x) = ax² + bx + c → f(0) = c
پس نقطهٔ برخورد با محور y همیشه: (0, c)
✅ این کار همیشه یک نقطه میدهد — چون هر تابع درجه دو دقیقاً یک بار محور y را قطع میکند.
🔹 ۲. برخورد با محور x (x-intercepts = ریشهها)
در این حالت، f(x) = 0 قرار داده میشود:
ax² + bx + c = 0
حل این معادله با فرمول زیر انجام میشود:
x =
–b ± √Δ
2a
, Δ = b² – 4ac
تعداد نقاط برخورد بستگی به دلتا (Δ) دارد:
- اگر Δ > 0 → دو نقطهٔ متمایز (دو ریشهٔ حقیقی)
- اگر Δ = 0 → یک نقطه (ریشهٔ مضاعف — سهمی بر محور x مماس است)
- اگر Δ < 0 → هیچ نقطهای (سهمی محور x را قطع نمیکند)
🔹 ۳. مثال کامل
تابع: f(x) = x² – 2x – 3
برخورد با محور y:
x = 0 → f(0) = –3 → نقطه: (0, –3)
برخورد با محور x:
x² – 2x – 3 = 0 → (x – 3)(x + 1) = 0 → x = 3, x = –1
نقاط: (3, 0) و (–1, 0)
دلتا: Δ = (–2)² – 4(1)(–3) = 4 + 12 = 16 > 0 → دو ریشه
🔹 ۴. حالتهای خاص و روش تجزیه
گاهی میتوان معادلهٔ درجه دو را بدون فرمول، با تجزیه حل کرد. این روش سریعتر و شهودیتر است.
۱. سهجملهای مربع کامل:
x² – 6x + 9 = 0
→ (x – 3)² = 0
→ ریشهٔ مضاعف: x = 3
→ نقطهٔ برخورد: (3, 0) (مماس)
x² – 6x + 9 = 0
→ (x – 3)² = 0
→ ریشهٔ مضاعف: x = 3
→ نقطهٔ برخورد: (3, 0) (مماس)
۲. تجزیه به دو عامل خطی:
x² + 5x + 6 = 0
→ دو عدد پیدا کنیم که جمعشان 5 و حاصلضربشان 6 باشد → 2 و 3
→ (x + 2)(x + 3) = 0
→ ریشهها: x = –2, x = –3
→ نقاط برخورد: (–2, 0), (–3, 0)
x² + 5x + 6 = 0
→ دو عدد پیدا کنیم که جمعشان 5 و حاصلضربشان 6 باشد → 2 و 3
→ (x + 2)(x + 3) = 0
→ ریشهها: x = –2, x = –3
→ نقاط برخورد: (–2, 0), (–3, 0)
۳. تجزیه با ضریب a ≠ 1:
2x² – 7x + 3 = 0
→ حاصلضرب a·c = 2×3 = 6 → دو عدد با جمع –7 و حاصلضرب 6: –1 و –6
→ 2x² – 6x – x + 3 = 0
→ 2x(x – 3) –1(x – 3) = 0
→ (2x – 1)(x – 3) = 0
→ ریشهها: x = ½, x = 3
2x² – 7x + 3 = 0
→ حاصلضرب a·c = 2×3 = 6 → دو عدد با جمع –7 و حاصلضرب 6: –1 و –6
→ 2x² – 6x – x + 3 = 0
→ 2x(x – 3) –1(x – 3) = 0
→ (2x – 1)(x – 3) = 0
→ ریشهها: x = ½, x = 3
💡 نکته: هر ریشهٔ حقیقی = یک نقطهٔ برخورد با محور x.
✅ تجزیه، روشی عالی برای درک هندسی ریشههاست.
✅ تجزیه، روشی عالی برای درک هندسی ریشههاست.
🎯 خلاصه
• برخورد با y: همیشه (0, c)
• برخورد با x: حل f(x) = 0 → با فرمول یا تجزیه
• Δ > 0 → دو نقطه
• Δ = 0 → یک نقطه (مماس)
• Δ < 0 → هیچ نقطهای
• برخورد با x: حل f(x) = 0 → با فرمول یا تجزیه
• Δ > 0 → دو نقطه
• Δ = 0 → یک نقطه (مماس)
• Δ < 0 → هیچ نقطهای
تمرین: نقاط برخورد تابع درجه دوم
f(x) = x² – 3x + 2