ترکیب فصلی گزارهها (∨)
هنگامی که دو گزاره را با کلمهٔ «یا» به هم وصل میکنیم، یک ترکیب فصلی ایجاد میشود. نماد ریاضی این ترکیب، علامت ∨ (خوانده میشود: «یا») است.
🔹 تعریف
ترکیب فصلی دو گزارهٔ p و q که بهصورت p ∨ q نوشته میشود، فقط و فقط وقتی نادرست است که هر دو گزارهٔ p و q نادرست باشند. در هر حالت دیگری (یعنی حداقل یکی درست باشد)، کل جمله درست است.
🔹 مثالهای روزمره
q: «من با اتوبوس به مدرسه آمدهام.»
p ∨ q: «من با دوچرخه یا با اتوبوس به مدرسه آمدهام.»
↤ این جمله درست است اگر حداقل یکی از روشها را استفاده کرده باشم (حتی اگر هر دو را!).
q: «عدد ۵ اول است.»
p ∨ q: «عدد ۵ فرد است یا اول است.»
↤ چون هر دو درست هستند، جمله درست است.
🔹 جدول ارزش ترکیب فصلی
جدول زیر تمام حالتهای ممکن برای دو گزارهٔ p و q را نشان میدهد:
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
(T = True = درست، F = False = نادرست)
🔹 نکتهٔ بسیار مهم!
اما در منطق ریاضی، نماد ∨ همیشه بهمعنای «حداقل یکی» است — حتی اگر هر دو درست باشند!
این نوع «یا» را در منطق، فصل غیرانحصاری میگویند.
آموزش ترکیب فصلی گزارهها
منطق ریاضی – پایه یازدهم انسانی
درس: ترکیب فصلی (یا) چیست؟
ترکیب فصلی که با «یا» نشان داده میشود، ترکیبی از دو یا چند گزاره است که وقتی درست است که حداقل یکی از گزارههای تشکیلدهنده آن درست باشد.
نماد: p ∨ q (خوانده میشود: “p یا q”)
مثال فارسی: “باران میبارد یا برف میبارد”
جدول ارزش ترکیب فصلی:
| p ∨ q (p یا q) | q | p |
|---|---|---|
| درست (T) | درست (T) | درست (T) |
| درست (T) | نادرست (F) | درست (T) |
| درست (T) | درست (T) | نادرست (F) |
| نادرست (F) | نادرست (F) | نادرست (F) |
مقایسه ترکیب عطفی (و) با ترکیب فصلی (یا):
| ویژگی | ترکیب عطفی (p ∧ q) | ترکیب فصلی (p ∨ q) |
|---|---|---|
| نماد | ∧ (و) | ∨ (یا) |
| خواندن | “p و q” | “p یا q” |
| درست بودن | فقط وقتی که هر دو درست باشند | وقتی که حداقل یکی درست باشد |
| نادرست بودن | اگر حتی یکی نادرست باشد | فقط وقتی که هر دو نادرست باشند |
| مثال | “باران میبارد و باد میوزد” | “باران میبارد یا باد میوزد” |
نکات مهم:
- ترکیب فصلی فقط وقتی نادرست است که همه اجزای آن نادرست باشند
- اگر حداقل یک جزء درست باشد، کل ترکیب فصلی درست .است
- در منطق ریاضی، «یا» به معنای یا ی جامع (inclusive OR) :است
- .یعنی هر دو گزاره میتوانند همزمان درست باشند
- .ترتیب گزارهها در ترکیب فصلی مهم نیست (p ∨ q ≡ q ∨ p)
مثال ۱: “فردا یا باران میبارد یا آفتابی است”
↤ اگر حداقل یکی از اینها اتفاق بیفتد (یا هر دو)، ترکیب درست است
مثال ۲: “این عدد یا زوج است یا اول”
↤ عدد ۲: هم زوج است هم اول ← ترکیب درست است
↤ عدد ۴: زوج است ولی اول نیست ← ترکیب درست است
↤ عدد ۳: زوج نیست ولی اول است ← ترکیب درست است
↤ عدد ۱: نه زوج است نه اول ← ترکیب نادرست است
مثال ۳: “در کتابخانه کتابهای ریاضی وجود دارد یا کتابهای ادبی”
↤ اگر کتابهای ریاضی باشند: درست
↤ اگر کتابهای ادبی باشند: درست
↤ اگر هر دو نوع کتاب باشند: درست
↤ اگر هیچکدام نباشند: نادرست
تفاوت مهم: در منطق ریاضی، «یا» به معنای « یای جامع» است (ممکن است هر دو درست باشند). این با «یا»ی انحصاری در زبان روزمره متفاوت است.
همارزیهای منطقی — از ساده تا پیچیده
🔹 ۱. همارزی چیست؟
دو گزارهٔ ترکیبی همارز (Equivalent) هستند اگر در همهٔ حالات ممکن (یعنی در تمام سطرهای جدول ارزش)، ارزش آنها یکسان باشد. در این صورت مینویسیم:
🔹 ۲. همارزیهای پایه (تک گزارهای)
الف) نقیض نقیض
یک گزاره با نقیض نقیض خودش همارز است:
| p | ¬p | ¬(¬p) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
ب) قانون رد واسطه
هر گزاره یا درست است یا نادرست — سومی نداریم:
| p | ¬p | p ∨ ¬p |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | T |
ج) قانون تناقض
یک گزاره نمیتواند هم درست باشد و هم نادرست:
| p | ¬p | p ∧ ¬p |
|---|---|---|
| T | F | F |
| F | T | F |
🔹 ۳. همارزیهای دو گزارهای (قوانین دمورگان)
الف) نقیض ترکیب عطفی
| p | q | p ∧ q | ¬(p ∧ q) | ¬p | ¬q | ¬p ∨ ¬q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | F | T | T | F | T |
| F | F | F | T | T | T | T |
ب) نقیض ترکیب فصلی
| p | q | p ∨ q | ¬(p ∨ q) | ¬p | ¬q | ¬p ∧ ¬q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | F |
| T | F | T | F | F | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F |
| F | F | F | T | T | T | T |
🔹 ۴. همارزیهای سه گزارهای (حالتهای خاص)
الف) توزیعپذیری عطف نسبت به فصل
(جدول ارزش 8 سطری — برای اختصار حذف شد، اما در تمرین کلاسی قابل رسم است)
ب) توزیعپذیری فصل نسبت به عطف
(همچنین 8 سطر — در کلاس تمرین شود)
ج) همارزی با ثابت
| p | p ∨ T | p ∧ F | p ∨ F | p ∧ T |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | F | F |
🎯 نتیجهگیری
- عبارات منطقی را سادهتر کنیم
- برنامههای کامپیوتری را بهینه کنیم
- در اثبات قضایا، مسیرهای کوتاهتری پیدا کنیم