ترکیب دوشرطی گزارهها (p ↔ q)
ترکیب دوشرطی، بیانکنندهٔ رابطهٔ «اگر و فقط اگر» بین دو گزاره است. نماد ریاضی آن p ↔ q است. این ترکیب زمانی درست است که هر دو گزاره همارز باشند (یعنی هر دو درست یا هر دو نادرست باشند).
🔹 ۱. تعریف و مثالهای روزمره
مثال: « یک عدد زوج است اگر و فقط اگر بر ۲ بخشپذیر باشد .»
↤ این جمله میگوید: اگر عددی زوج باشد، بر ۲بخش پذیر است و اگر عددی بر ۲ بخش پذیر باشد، زوج است.
↤ این جمله میگوید: اگر عددی زوج باشد، بر ۲بخش پذیر است و اگر عددی بر ۲ بخش پذیر باشد، زوج است.
مثال دیگر: «مثلثی اگر و فقط اگر سه زاویهٔ برابر داشته باشد، متساویالاضلاع است.»
🔹 ۲. جدول ارزش ترکیب دوشرطی
ترکیب دوشرطی فقط وقتی درست است که p و q همارز باشند.
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
💡 نکته: دوشرطی همان برابری منطقی است. هرگاه ارزش دو گزاره یکسان باشد، جمله درست است.
🔹 ۳. همارزی مهم
ترکیب دوشرطی را میتوان بهصورت ترکیب عطفی از دو شرط نوشت:
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
یعنی: «p اگر و فقط اگر q» یعنی «اگر p آنگاه q» و «اگر q آنگاه p».
✅ این همارزی نشان میدهد که دوشرطی، ترکیبی از دو رابطهٔ یکطرفه است.
🔹 ۴. شیوههای مختلف خواندن p ↔ q
- p اگر و فقط اگر q.
- p معادل q است.
- p همارز q است.
- p ضرورت و کفایت q است.
- شرایط p و q با هم برابرند.
🔹 ۵. کاربرد در ریاضیات
تعاریف ریاضی تقریباً همیشه بهصورت دوشرطی بیان میشوند:
«عددی اگر و فقط اگر بر ۱ و خودش بخشپذیر باشد، اول است.»
✅ در اثباتهای دوشرطی، باید دو طرف را ثابت کنید:
۱. اگر p آنگاه q
۲. اگر q آنگاه p
۱. اگر p آنگاه q
۲. اگر q آنگاه p
🔹 ۶. تفاوت با ترکیب شرطی
• شرطی (p → q): یکطرفه — فقط کافی است q زمانی درست باشد که p درست باشد.
• دوشرطی (p ↔ q): دوطرفه — p و q باید دقیقاً همزمان درست یا نادرست باشند.
• دوشرطی (p ↔ q): دوطرفه — p و q باید دقیقاً همزمان درست یا نادرست باشند.