اعداد زوج و فرد — بیان جبری و اثبات
۱. بیان جبری:
- هر عدد زوج را میتوان بهصورت زیر نوشت:
2k (که در آن k یک عدد صحیح است) - هر عدد فرد را میتوان بهصورت زیر نوشت:
2k + 1 (که در آن k یک عدد صحیح است)
۲. مقدار عددی — با جایگزینی:
• اگر k = 3: 2k = 6 (زوج) , 2k + 1 = 7 (فرد)
• اگر k = −2: 2k = −4 (زوج) , 2k + 1 = −3 (فرد)
• اگر k = 0: 2k = 0 (زوج!) , 2k + 1 = 1 (فرد)
• اگر k = −2: 2k = −4 (زوج) , 2k + 1 = −3 (فرد)
• اگر k = 0: 2k = 0 (زوج!) , 2k + 1 = 1 (فرد)
۳. اثباتهای ساده (با استفاده از بیان جبری):
ثابت کنید: جمع دو عدد زوج، عددی زوج است.
فرض: عدد زوج اول = 2a , عدد زوج دوم = 2b
جمع: 2a + 2b = 2(a + b)
چون (a + b) عددی صحیح است، پس حاصلجمع بهصورت 2 × (عدد صحیح) است → زوج.
جمع: 2a + 2b = 2(a + b)
چون (a + b) عددی صحیح است، پس حاصلجمع بهصورت 2 × (عدد صحیح) است → زوج.
ثابت کنید: جمع دو عدد فرد، عددی زوج است.
فرض: عدد فرد اول = 2a + 1 , عدد فرد دوم = 2b + 1
جمع: (2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1)
چون (a + b + 1) صحیح است، پس حاصلجمع زوج است.
جمع: (2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1)
چون (a + b + 1) صحیح است، پس حاصلجمع زوج است.
ثابت کنید: جمع یک عدد زوج و یک عدد فرد، عددی فرد است.
فرض: زوج = 2a , فرد = 2b + 1
جمع: 2a + (2b + 1) = 2(a + b) + 1
این بهصورت 2k + 1 است → فرد.
جمع: 2a + (2b + 1) = 2(a + b) + 1
این بهصورت 2k + 1 است → فرد.
💡 نکته: این روش (استفاده از 2k و 2k+1) پایهای برای استدلال جبری در ریاضیات است و در پایههای بالاتر بسیار کاربرد دارد.
۱. ضرب دو عدد زوج ← زوج
(2a)(2b) = 4ab = 2(2ab) → زوج
۲. ضرب عدد زوج در فرد ← زوج
(2a)(2b + 1) = 4ab + 2a = 2(2ab + a) → زوج
۳. ضرب دو عدد فرد ← فرد
(2a + 1)(2b + 1) = 4ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1 → فرد
نتیجه: تنها حالتی که ضرب فرد میشود، زمانی است که هر دو عدد فرد باشند.