اثبات همارزیها با قوانین معروف
گاهی نیاز نیست جدول ارزش بکشیم! میتوانیم با استفاده از همارزیهای پایه، عبارتهای پیچیده را بهصورت جبری ساده کنیم. در این روش، هر گام را با یک قانون شناختهشده توجیه میکنیم.
✅ قوانین پایهای که در اینجا استفاده میشوند:
• دمورگان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q , ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
• نقیض نقیض: ¬(¬p) ≡ p
• توزیعپذیری: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
• جابجایی: p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p
• دمورگان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q , ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
• نقیض نقیض: ¬(¬p) ≡ p
• توزیعپذیری: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
• جابجایی: p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p
🔹 مثال ۱: سادهسازی ¬(p ∧ ¬q)
¬(p ∧ ¬q)
گام ۱: قانون دمورگان
≡ ¬p ∨ ¬(¬q)
≡ ¬p ∨ ¬(¬q)
گام ۲: نقیض نقیض
≡ ¬p ∨ q
≡ ¬p ∨ q
→ پس: ¬(p ∧ ¬q) ≡ ¬p ∨ q
🔹 مثال ۲: اثبات ¬(¬p ∨ q) ≡ p ∧ ¬q
¬(¬p ∨ q)
گام ۱: قانون دمورگان
≡ ¬(¬p) ∧ ¬q
≡ ¬(¬p) ∧ ¬q
گام ۲: نقیض نقیض
≡ p ∧ ¬q
≡ p ∧ ¬q
🔹 مثال ۳: سادهسازی ¬[(p ∨ q) ∧ ¬r]
¬[(p ∨ q) ∧ ¬r]
گام ۱: دمورگان
≡ ¬(p ∨ q) ∨ ¬(¬r)
≡ ¬(p ∨ q) ∨ ¬(¬r)
گام ۲: دمورگان روی ¬(p ∨ q)
≡ (¬p ∧ ¬q) ∨ r
≡ (¬p ∧ ¬q) ∨ r
گام ۳: جابجایی (اختیاری)
≡ r ∨ (¬p ∧ ¬q)
≡ r ∨ (¬p ∧ ¬q)
🔹 مثال ۴: اثبات همارزی ترکیب شرطی
نشان دهید: p → q ≡ ¬p ∨ q
(این همارزی تعریفِ ترکیب شرطی در منطق است، اما میتوان آن را با جدول تأیید کرد.)
بنابراین، هر عبارت شرطی را میتوان به فرم فصلی نوشت.
مثال کاربردی:
¬(p → q) ≡ ¬(¬p ∨ q) ≡ p ∧ ¬q
یعنی: «نادرست بودن جملهٔ «اگر p آنگاه q» یعنی «p درست باشد ولی q نادرست باشد».
🎯 چرا این روش عالی است؟
• برای عبارات با ۳ گزاره یا بیشتر، جدول ارزش خیلی بزرگ میشود (8, 16, 32 سطر!)
• این روش سریعتر و هوشمندانهتر است
• شبیه به سادهکردن عبارات جبری در ریاضی است!
• این روش سریعتر و هوشمندانهتر است
• شبیه به سادهکردن عبارات جبری در ریاضی است!
🧠 تمرین اثبات همارزی گزارههای منطقی
مراحل اثبات همارزی را از چپ به راست بنویسید – فقط با استفاده از نقیض، عطف و فصل
🔥 پاسخ صحیح پیاپی:
0
هدف: ۷ پاسخ صحیح پیاپی
اثبات کنید:
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
قانون مورد استفاده: جذب فصل
🎯 دستورالعمل حل:
❶ هر مرحله را در جعبه مربوطه بنویسید
❷ فقط از نمادهای زیر استفاده کنید
❸ مرحله به مرحله پیش بروید
❹ از قوانین منطقی استفاده کنید
💡 مثال: برای اثبات p ∨ (p ∧ q) ≡ p میتوان نوشت:
p ∨ (p ∧ q) ≡ (p ∧ T) ∨ (p ∧ q) ≡ p ∧ (T ∨ q) ≡ p ∧ T ≡ p
📝 صفحه کلید نمادها (روی نماد کلیک کنید)
صحیح
0
غلط
0
درصد موفقیت
0%
پیاپی صحیح
0
🎉 تبریک! شما به شناخت کافی رسیدهاید! 🎉
شما ۷ سوال پیاپی را صحیح اثبات کردید!
این نشان میدهد که موضوع همارزیهای منطقی را بهخوبی یاد گرفتهاید. 💯
همینطور ادامه دهید و مهارتهای منطقی خود را تقویت کنید!